男生追女生的超强数学建模分析

问题分析
  男生追女生，对男生来说最重要的是学习、爱情两不误。因此我们引进男生的学业成绩函数y(t)。

  首先，我们不考虑男生的追求攻势，则影响该函数的因素主要是两个人的关系程度。为了便于分析，我们将两人的关系简化为女生对该男生的疏远度，于是引入疏远度函数x(t)。

  问题就转化为求解y(t)和x(t)的相互作用关系。利用微分，很容易就可以求出两者的关系。但现实中男生可能会对该女生发起一轮轮的追求攻势，因此还要考虑到追求攻势对模型的影响。而追求攻势又与女生的疏远度有关，可以简化地将两者看成是正比关系。将追求攻势加入到模型中，就可以找出攻势与y(t)和x(t)的关系了。

  模型假设

  1、t时刻a君的学业成绩为y(t)；

  2、t时刻b女对a君的疏远度为x(t)；

  3、当a君没开始追求b女时b女对a君的疏远度增长（平时发现的a君的不良行为）符合malthus模型，即dx/dt=ax(t)其中a为正常数。

  4、当y(t)存在时，单位时间内减少x(t)的值与x(t)的值成正比，比例常数为b，从而 dx(t)/dt=ax(t)-bx(t)y(t)。

  5、a君发起对b女追求后，立即转化为b女对a君的好感，并设定转化系数为 α，而随着的a君发起对b女的追求，a君学业的自然下降率与学业成绩成正比，比例系数为e。于是有dy(t)/dt=αbx(t)y(t)-ey(t)。

  模型构成

  由假设4和假设5，就得到了学业与疏远度在无外界干扰的情况下互相作用的模型：

  {dx(t)/dt=ax-bxy；dy(t)/dt=cxy-ey} 其中c=αb. (1)

  这是一个非线性自治系统，为了求两个数x与y的变化规律，我们对它作定性分析。令{ax-bxy=0；cxy-ey=0} 解得系统(1)的两个平衡位置为：o(0,0)，m (e/c,a/b)。从(1)的两方程中消去dt，分离变量可求得首次积分：

  f(x,y)=cx-dln|x|-aln|y|=k (2)

  容易求出函数f(x,y)有唯一驻点为m(e/c,a/b)。再用极值的充分条件判断条件可以判断m是f的极小值点。同时易见，当x→∞（b女对a君恨之入骨）或y→∞ （a君是一块只会学习的木头）时均有f→∞；而x→0（a君作了变形手术，b女对他毫无防备）或y→0（a君不学无术，丝毫不学习）时也有f→∞。由此不难看出，在第一象限内部连续的函数z=f(x,y)的图形是以m为最小值点，且在第一卦限向上无限延伸的曲面，因而它与z=k(k＞0)的交线在相平面xoy的投影f(x,y)=k (k＞0)是环绕点m的闭曲线簇。这说明学业成绩和疏远度的指数成周期性变化。

  结果解释

  从生态意义上看这是容易理解的，当a君的学习成绩y(t)下降时，b女会疏远 a君，疏远度x(t)上升；于是a君就又开始奋发图强，学习成绩y(t)又上升了。于是b女就又和a君开始了来往，疏远度x(t)又下降了。与b女交往多了，当然分散了学习时间，a君的学习成绩y(t)下降了。

  然而我们可证明，尽管闭轨线不同，但在其周期内的x和y的平均数量都分别是一常数，而且恰为平衡点m的两个坐标。事实上，由(1)的第二个方程可得： dy/ydt=cx- e,两端在一个周期时间t内积分，得：

  ∫(dy/ydt)dt=c∮xdt-dt (3)

  注意到当t经过一个周期t时，点(x,y)绕闭轨线运行一圈又回到初始点，从而：∫(dy/ydt)dt=∮dy/y=0。所以，由(3)式可得：(∫xdt)/t=e/c。

  同理，由(1)的第一个方程可得：(∫ydt)/t=a/b。

  模型优化

  考虑到追求攻势对上述模型的影响。设追求攻势与该时刻的疏远度成正比，比例系数为h，h反映了追求攻势的作用力。在这种情况下，上述学业与疏远度的模型应变为：

  {dx/dt=ax-bxy-hx=(a-h)x-bxy；dy/dt=cxy-ey-hy=cxy-(e+h)y} (4)

  将(4)式与(1)式比较，可见两者形式完全相同，前者仅是把(1)中x与y的系数分别换成了a-h与e+h。因此，对(4)式有

  x’=(∫xdt)/t=(e+h)/c，y’=(∫ydt)/t=(a-h)/b (5)

  利用(5)式我们可见：攻势作用力h的增大使x’增加，y’减少。

  我们的建议

  考试期间，由于***课繁忙，使得追求攻势减少，即h减小，与平时相比，将有利于学业成绩y的增长。这就是volterra原理。 此原理对男生有着重要的指导意义：强大的爱情攻势有时不一定能达到满意的效果，反而不利与学业的成长；有时通过慢慢接触，慢慢了解，再加上适当的追求行动，女生的疏远度就会慢慢降低。学习成绩也不会降低！

看的头疼

放假放假啦

牛！！！

复杂的........