孙斌勇：一项伟大的数学工程朗兰兹纲领

中国科学院数学与系统科学研究院研究员孙斌勇

　　新浪科技讯 10月28日下午消息，今日2017未来科学大奖颁奖典礼暨未来论坛年会在京举办。中国科学院数学与系统科学研究院研究员孙斌勇发表题为《朗兰兹纲领：一项伟大的数学工程》的演讲。

　　孙斌勇在演讲中提到，数论、几何、表示论是数学中最经常研究的方向。数论部分主要研究整数的方向，孙斌勇提到了丢番图方程，其中重要的原理是费尔玛最后定理，BSD猜想。

　　几何部分中，欧几里得、黎曼、庞加莱等人作出了重要的贡献。这其中和朗兰兹纲领最相关的是代数几何学，多项式确定的图形，比如圆锥图形等。

　　表示论中主要是对称性，以群作用在表现。群的概念起源于对多项式方程根式解。

　　朗兰兹纲领被称为数字大统一理论。揭示了数论、代数几何、李群表示论的关联，其核心就是L函数。（霄寒）

　　以下为演讲全文：

　　朋友们，大家下午好，首先感谢论坛的主持者邀请我来做这个报告，我今天演讲的题目是朗兰兹纲领，一项伟大的数学工程。现在基础数学研究中有三个大家非常关注的方向，数论，几何和表示论。朗兰兹纲领说这三个方向有非常密切的三个内在联系，所以我们称朗兰兹纲领为数学的一个大统一理论。下面分别介绍一下数论，几何，表示论和朗兰兹纲领。

　　我们先介绍数论，我们认识数学从数数开始的，12345等等这些都是整数，数论是一个研究整数的学问，这是最古老的数学分子。在数论里面有两类最主要的问题，一类叫做数字分布，素数分布，一类是丢番图方程。

　　我们知道素数有2357这些都是属于素数，有一个特点，除了1和它自己以外，不能被其他的正整数整除这样是素数，首先素数到底有多少个呢？这个问题在两千多年前古希腊的数学家欧几里得，在他写的几何原本那本书里面证明了素数有无穷多个，我们中国人最熟悉的关于素数分割的问题是哥德巴赫猜想和孪生素数猜想，这是因为中国人陈景润和张益唐在这两个问题的研究里面取得了非常巨大的突破，最后还是没有解决，哥德巴赫猜想说每个大于2的偶数都是两个素数的和。数学家把这个命题称之为一加一，经常有人问一加一等于2这么简单的事情，为什么数学家还要去研究，其实这是一个误会，我们说一加一不是说一加一等于2，而是指哥德巴赫猜想的命题，代表了一个命题，孪生素数猜想说存在无穷多对差是2的素数。其实素数分布里面最基本的问题不是之前说到的两个，而是素数定理和黎曼假设。这里数学大师，欧拉，高斯和黎曼，在这两个问题中做了非常基础性的重要工作，比如说欧拉和黎曼引进了著名的（里满给他 音）集数，是一个集数合，到大于1的时候是收敛的，小于1的时候，因为这个集数不收敛，它的值有理论里面的研习的办法来确定，高斯猜出了素数定理的准确表达形式，后来法国科学家哈得曼等人利用研究（里美含他 音）函数确定了素数定理，说的是什么事情呢，到充分大的时候，小于1N的素数大概有多少个，这是素数定理的大致的估计，但是黎曼猜想是对这个问题更精神的估计，大家知道黎曼猜想现在还没有解决。而且现在数学家也没有办法，也没有任何想法解决这个问题。

　　丢番图也是古希腊的科学家，丢番图方程也是多项式方程，最早写了一本书专门研究这一类问题。最著名的例子是费尔玛的最后定理，这里面的几个式子是没有正整数解的，这个定理已经被欧洲的数学家证明了。另外一个证明的定理是BSD猜想，这是三次方程，是研究三次方程的有理数解，这个三次方程定义的几何图形叫做椭圆现象，这个BSD猜想和黎曼猜想一样，提出了七个千禧年数学问题之一，也是没有解决，是研究这个方程的整数解或者是有理数解。

　　下面介绍几何学。几何学是研究各种各样的形状的一门学问，比如说我们非常熟悉的高中里面学到的圆锥曲线，椭圆曲线，刚刚提到的三次方程定义下的一个曲线，还有回面，几何学里面包括了很多各种各样的分支，比如说微分几何学，代数几何学等等。很多的数学大师在几何学里面做出了非常重要的工作。比如说欧几里得，前面在数论里面提到了欧几里得开创了平面几何学，为平面几何学建立了完整的一个理论体系。还有黎曼也是前面提到了，他开创了黎曼几何学，黎曼几何后来启发了爱因斯坦创立了广义相对论。这个庞加莱在拓扑学方面做了非常重要的基础性工作。我们知道他有一个重要的非常著名的庞加莱猜想，也是七个千禧年问题之一，这是唯一被解决的一个。这里提到了这个人，它对现代数学的影响非常大，带来了几何学革命。这其中和朗兰兹纲领最密切关系的是代数几何学。代数几何学也就是多项式方程，描述的图形，比如说前面提到了圆锥曲线，椭圆曲线，环面其实都是代数几何学的研究内容。

　　第三个部分我们介绍一下表示论，这里说的表示论，我指的是群的表示论，比如说群是研究事物的对称性，我们看到这幅图，第一幅图是左右对称的，第二幅图是水准对称的，在数学上这些对称性是用群作用来刻画的。群的概念在数学、物理或者是其他的科学里面都是非常基本的概念，所以我想详细解释一下这个概念，什么叫做一个群。群根据定义，是有两样东西组成的，首先是一个集合。第二，这个集合上有一个运算，然后什么叫做运算呢？就是说这个集合里面给你两个元素，你可以得到第三个元素，这是一个法则，这个叫做运算，比如说是整数集合，这个运算是加法运算，这样的话从一个三，一个四可以得到七，三加四等于七，现在有两样东西，一个是集合，一个运算，必须满足三样东西才是一个群，这三个条件分别称之为第一个叫做结合率，做运算必须有结合率，第二个是群里面必须有一个单位元，第三个是这个群里面每个元素都要有一个逆元素，这样的话组成一个群，比方说我刚刚讲的整数的几何，加法之下这两个东西的确组成了一个集群。但是如果我们还是取那个证书的几何，运算呢，我们把加法改成乘法，这个不再是一个群了，我们知道乘法有结合律，还是有单位元素1，这个零元素没有逆元素，也就是说你不可能找到一个整数，它和0乘起来不可能等于1，所以这个整数集合在乘法里面不是一个群，我们这里关心的是一个群，群的概念起源于法国数学家加罗华对多项式方程根式解的研究，他证明了一些多项式方程的解不可能用根式表达出来。其实我们更关心的是李群，所谓李群，其实它是具有连续性的群，除了群结构还有其他的结构，几何的结构。这个李群起源于挪威数学家李对微分方程的研究。我这里写了两个群的例子，一个群和一个李群的例子。这个李群表示论是对称、线性代数加连续性的组合，本身它就起源于量子力学的研究论。现在大家更关注的是无穷表示论，这里面著名的数学家，这两个人是在李群的有限表示理论中做出了非常基础性的工作。后面两个著名的数学家建立了李群无穷表示论的技术。

　　这个李群表示论，和数学中的另一个分支调和分析非常相关，调和分析的主要任务把一个复杂的函数分解成简单函数的和，对应的，在李群表示论里面，要把一个表示分解成不可表示的和。我们知道在调和分析里面有两个重要的例子，一个是工程里面我们知道非常有用的东西傅里叶级数，还有一个是自守表示，这两个本质上都是李群表示论的例子。

　　最后，我们介绍一下朗兰兹纲领，前面提到了朗兰兹纲领是一个被称为数学大统一理论，解释了数论，代数几何和李群表示论之间有深入的联系，这里被称之为L函数对象的联系建立起来的，我这里列出来了几个L函数的例子，就是（李美贼大 音）函数的推广，就是第一个我写的函数，这是一个很大的理论。

　　朗兰兹这个人出生于加拿大，在1967年，他给数学家写了一封信，他提出了现在非常著名的朗兰兹复发猜想，这个猜想建立了数论和表示论之间的联系。这封信下来被认为是朗兰兹纲领的起源。朗兰兹纲领的核心研究对象是前面提到的函数，比方说之前提到过的黎曼假设，费尔玛订立合BSD猜想，最终都是函数的问题，朗兰兹纲领的一个问题是朗兰兹函子性猜想，是朗兰兹猜测的猜想。还有一个是朗兰兹纲领的对应，这纯粹是理论表现的问题。这里我写了两个对应。

　　前面提到了这两个问题中，我们现在数学家已经取得了很多的重要的进展。当然也有更多的问题没有被解决。这里我写了一些进展，这两个问题的研究中现在已经产生了好几位得主，都是研究这两个问题的。

　　朗兰兹纲领还有很多的各种各样的推广，比如说几何朗兰兹纲领可能和物理关系更密切一点，还有P进的朗兰兹纲领和数论的关系更加密切一点这里还有很多的问题等等大家去探索。

　　谢谢大家。